egzamin ze statystyki i matematyki

funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych

ciąg dla którego różnica kolejnych dwóch wyrazów jest stała

ciąg dla którego iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały

zdjecie

ogarniczony, rosnący, zbieżny

ma granicę

jeśli an≤bn≤cn oraz an i cn mają równe granice to ciąg bn też będzie miał taką samą granice

wyraz ogólny dąży do 0 lim a=0

zdjęcie

zdjęcie

zdjęcie

zdjęcie

odnajdywanie pochodnej funkcji

granica ilorazu różnicowego tej funkcji w punkcie x0 gdy przyrost delta x dąży do 0

zdjęcie

• pochodna funkcji x0 = tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0

• pochodna funkcji f(x) = współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu w punkcie x0

działanie odwrotne do różnicznkowania

y’=(12)’=0

x

trapez krzywoliniowy, pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej funkcji oraz prostymi x=a i x=b (granice) równa się całce oznaczonej tej funkcji

• po przestawieniu granic całka zmienia znak na przeciwny

• całka o tej samej dolnej i górnej granicy =0

• przedział w którym obliczamy całkę wolno dzielić na części

uporządkowana para liczb rzeczywistych z=(x,y)

zbiór wszystkich liczb zespolonych

z+w=(a+c,b+d)

z*w=(ac-bd,ad+bc)

z=(0,0)

-z=(-a,-b)

z=(1,0)

zdjęcie

liczba zespolona (0,1)

i^2=-1

z=x+iy/z=a+ib

obraz liczby zespolonej w symetrii do osi Re z (z=x-iy)

odległość punktu (x,y) od początku układu współrzędnych

liczba x (Re z=x)

liczba y (Im z=y)

liczba wierszy = liczba kolumn

wszystkie elementy macierzy są równe 0

takie odwzorowanie które danej macierzy przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą detA

służy do obliczania współczynnika macierzy 3x3

• przestawienie dowolnych wierszy (lub kolumn) zmienia wartość współczynnika na przeciwną

• przestawienie wszystkich wierszy na miejsce jego kolumn i odwrotnie bez zmiany ich porządku nie zmienia wartości współczynnika

• jeśli wyznacznik ma dwa wiersze lub kolumny identyczne to jego wartość równa się zeru

• jeśli wyznacznik ma jakiś wiersz lub kolumnę złożoną z samych 0 to jego wartość równa się 0

• jeśli wszystkie elementy dowolnego wiersza lub kolumny wyznacznika pomnożymy przez pewną liczbę to wyznacznik też zostaje pomnożony przez tą liczbę

• jeśli do elementów dowolnego wiersza lub kolumny dodamy lub odejmiemy element innego wiersza lub elementy innego wiersza pomnożone przez tę liczbę to wartość wyznacznika nie zmieni się

NAJPROSTSZA, pozwala określić przynależność elementów danego zbioru (np populacji ludzi) do wyróżnionych dla danej cechy (np kolor oczu) kategorii jakościowych (np u brunetów)

wszystkie elementy danego zbioru są podzielne na dwie grupy rozłączne, czyli takie które nie posiadają elementów wspólnych (np płeć)

podczas rangowania poszczególnych wyników pomiarów przypisujemy im kolejny numer porządkowy czyli tzw rangę, utworzone rangi są wykorzystywane w dalszych przeliczeniach statystycznych

stosuje się ją wówczas, gdy zbiór wyników zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych, wynikom wyrażonym w tej skali można przypisać określoną wartość mierzoną w ściśle zidentyfikowanych jednostkach (np pomiary masy, długości, temperatury)

różnica między najmniejszym a największym pomiarem musi mieścić się w zakresie od 30 do 300 jednostek pomiarowych

możliwości aparatury, celu badań i zasad przestrzeganych w danej dyscyplinie naukowej

np 210-229,9

np 209,95-229,95

stosuje się ją gdy elementom danego zbioru chcemy przypisać większą wagę, aby miały one większy wpływ na obliczaną wartość średniej arytmetycznej

stosowana jest gdy wyniki zmieniają się w przybliżeniu w postępie geometrycznym tzn. gdy kolejna wielkość w szeregu powstaje przez pomnożenie przez stały mnożnik wielkości bezpośrednio ją poprzedzającej, można nią obliczyć średnie tempo przyrostu badanej cechy (np tempo przyrostu masy ciała) (tylko liczby dodatnie)

służy najczęściej do obliczania tzw. efektywnej wielkości populacji, kształtu, dominacji czy zagęszczenia. Stosuje się ją również wtedy, gdy chcemy obliczyć średnią wartość badanej cechy, a zbiór wyników zawiera wartości różniące się od siebie o kilka rzędów wielkości

umożliwia porównanie zmienności wyników pomiarów, które nie zostały wyrażone w tych samych jednostkach lub pobrano je z różnych źródeł

polega na dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu wszystkich wyników przez wartość stałą w celu uproszczenia obliczeń i graficznego przedstawienia wyników badań

polega na pierwiastkowaniu, potęgowaniu czy logarytmowaniu danych pomiarowych, można też użyć funkcji trygonometrycznych

pozwalają policzbyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru (nie wybieramy wszystkiego, kolejność nie jest istotna)

np ilość kombinacji w które można ułożyć 5 osób w kolejkę (bez powtórzeń) (5!=) (wszystkie elementy)

nie musimy używać wszystkich elementów, z powtórzeniami i bez powtórzeń

średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy jednostek zbiorowości od ich średniej, kwadrat odchylenia standardowego

stosunek zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, do wszystkich zdarzeń elementarnych, jednakowo możliwych i wykluczających się wzajemnie

• prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0

• jeśli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenia B to P(A) ≤ P(B)

• dla każdego zdarzenia A zawartego w omega zachodzi P(A) ≤ 1

• jeśli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, to prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń jest równe różnicy prawdopodobieństw tych zdarzeń

• prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A wynosi P(A’) = 1 - P(A)

każda funkcja na zbiorze omega i przybierająca wartości w zbiorze liczb rzeczywistych

zbiór wartości które może przyjmować zmienna jest skończony

zbiór wartości które może przyjmować zmienna jest niepoliczalny

przeprowadza się jedno doświadczenie losowe (n=1), możliwe są tylko dwa wyniki - sukces (1) lub porażka (0)

więcej niż jedno zdarzenie losowe (n>1), możliwe są tylko wyniki p i q

zdarzenie losowe, które zachodzi wtedy gdy zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń je tworzących (albo) (równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń)

zdarzenie losowe polegające na tym, że kilka zdarzeń losowych zaszło równocześnie (i) (równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń)

p<0,5

p>0,5

rozkład ciągły i symetryczny którego postać zależy od dwóch parametrów mi i sigma (μ,σ)

średnia ilość prawdopodobieństwa przypadająca na jednostkę długości przedziału gdy długość przedziału dąży do 0

jeśli rozkład wyników pomiarów mocno odbiega od wartości średniej to sigma przyjmuje wysokie wartości i rozkład normalny ma wtedy kształt rozpłaszczony

jeśli rozkład wyników nie odbiega mocno od wartości średniej to sigma przyjmuje niskie wartości i rozkład normalny ma szpiczasty kształt

ma zdefiniowaną średnią arytmetyczną mi=0 i zdefiniowane odchylenie standardowe sigma=1

1

jednostka standaryzowana, wskazuje o ile odchyleń standardowych pojedynczy wynik jest oddalony od średniej

przypuszczenie dotyczące badanego zjawiska czy rozważanego problemu

przypuszczenie dotyczące badanych danych

brak istotnych różnic w wynikach, przyjmujemy kiedy wartość statystyki testu będzie mniejsza niż wartość krytyczna

istotne różnice w wynikach, przyjmujemy kiedy wartość statystyki testu będzie większa od wartości krytycznej

prawdopodobieństwo uzyskania z testu statystycznego wartości, która nakazuje nam odrzucenie hipotezy zerowej na rzecz hipotezy alternatywnej, mimo, że hipoteza zerowa może być prawdziwa (określa prawdopodobieństwa popełnienia błędu pierwszego rodzaju)

odrzucamy prawdziwą hipotezę zerową i przyjmujemy fałszywą hipotezę alternatywną

odrzucamy prawdziwą hipotezę alternatywną i przyjmujemy fałszywą zerową

konserwatywny

wyznaczenie takiego przedziału liczbowego który z nadanym z góry prawdopodobieństwem (1-alfa) zwanym współczynnikiem ufności poryje nieznaną wartość szacowanego parametru populacji

zależy od przyjętego poziomu istotności, jeśli alfa=0,05 to współczynnik ufności =0,95

umożliwia wyeliminowanie tzw. błędów grubych czyli błędów pomiarowych które różnią się od pozostałych (błąd pomiarowy, odczytu)

stosujemy go w celu wykazania istotnych różnic między dwiema grupami

sprawdza jednorodność wariancji, trzeba go zrobić przed zastosowaniem testu t dla prób niezależnych

obowiązuje we wszystkich rodzajach ANOVA i wymaga aby pomiar zmiennej zależnej miał rozkład normalny w obrębie każdej wyróżnionej grupie danych i wariancja pomiarów była jednakowa we wszystkich grupach (i pobieranie losowe)

mocniejszy od testu serii, bardziej precyzyjnie od niego sprawdza różnice w rozkładzie liczb między dwiema grupami

nieparametryczna alternatywa klasyfikacji prostej, stosuje się przy naruszeniu założeń ANOVA

nieparametryczna alternatywa testu t-studenta dla przypadku dwóch równolicznych prób dających się połączyć w pary

pomiary muszą być w rozkładzie normalnym oraz wariancja pomiarów musi być jednakowa we wszystkich grupach

sprawdza hipotezę, jest to każdy test statystyczny w którym statystyka testowa ma rozkład chi kwadrat (wartość oczekiwana nie może być mniejsza niż 5)

opisuje zależność między dwoma zmiennymi, z których jedna (Y) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, druga natomiast (X) jest zmienną nielosową

współzależność dwóch zmiennych, z których obie Y i X są zmiennymi losowymi

wyznacza obszar w którym gęstość prawdopodobieństwa przyjmuje wartości niższe od założonego poziomu istotności

od -1 do +1